Комментарий автора сайта. Предлагаю вашему вниманию статью д.т.н., профессора И.3. Джилавдари (Белорусский национальный технический университет) и В.В. Сидорик, описывающую общие подходы к моделированию физических процессов. Статья специально предоставлена для публикации на сайте "Знания-сила".

начало, часть 1 из 2
см. часть 2.

ВВЕДЕНИЕ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 3. ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 4. ОСОБЕННОСТИ ПРЕДМЕТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 5. РАЗЛИЧИЕ в МЕТОДАХ РАБОТЫ ФИЗИКОВ и ИНЖЕНЕРОВ 6. О ЗНАЧЕНИИ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ В НАУКЕ.

Введение

Реальные объекты и явления материального мира чрезвычайно сложны. Человеческое сознание не в состоянии охватить все свойства этих объектов и связи между ними. По этой причине в процессе описания и изучения реальных объектов человек вынужден упрощать их свойства, т. е. заменять реальные объекты их моделями. В широком смысле любой образ какого-либо объекта, в том числе и мысленный, называют моделью.

Моделированием называется целенаправленное исследование явлений, процессов или объектов путем построения и изучения их моделей.

Любой метод научного исследования базируется, по существу, на идее моделирования. При этом различают теоретические методы, для которых используются различного рода знаковые, абстрактные модели, и экспериментальные методы, для которых используют предметные модели. Предметное моделирование предполагает проведение реального физического эксперимента или построение макета, имитирующего реальный эксперимент. В ряде случаев предметное моделирование требует создания сложных и дорогостоящих установок, что не всегда оправдано.

На всём пути теоретического моделирования, начиная от выбора модели и интерпретации результатов, существует целая группа сложных проблем. Основные проблемы следующие:
1. Создание физической модели путём идеализации содержания реальной задачи.
2. Создание математической модели, описывающей физическую модель.
3. Исследование математической модели.
4. Получение, интерпретация и проверка результатов.

1. Физические модели

Физика как наука о природе, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства материального мира, также базируется на моделях объектов материального мира. Эти модели характеризуются определенными понятиями: пространство, время, система отсчета, масса, скорость, импульс, электрическое или магнитное поле, температура, влажность и другие. Указанные физические понятия называют физическими величинами или физическими параметрами.

Физическая величина — свойство, общее в качественном отношении для множества объектов, но индивидуальное в количественном для каждого из них.

При построении физической модели необходимо в системе материальных объектов выделить и "идеализировать" физические тела, поля, условия движения, взаимодействия, ввести физические величины, характеризующие свойства объектов, сформулировать физические законы, описывающие связь между этими понятиями и взаимодействия между материальными объектами. При построении физических моделей можно выделить три этапа.

Этап 1. Моделирование полей и вещества.

• рассматриваемый объект представляет собой материальную точку;
• рассматриваемое тело является абсолютно твердым;
• рассматриваемое тело является абсолютно упругим;
• электрическое поле, в котором расположены тела, является постоянным и однородным;
• жидкость, текущая в трубе является несжимаемой и не имеет вязкости;
• газ в данном объеме является идеальным газом.

Этап 2. Моделирование условий движения и взаимодействий реальных объектов в рамках выбранных моделей полей и вещества для рассматриваемых реальных систем.

Например:
• движение происходит в инерциальной системе отсчета;
• удар является абсолютно упругим;
• тело движется при условиях, когда трение отсутствует;
• сила трения не зависит от скорости;
• материальная точка движется прямолинейно, равноускоренно;
• деформации тела являются линейными;
• силы взаимодействия консервативны;
• система взаимодействующих тел замкнута;
• процесс расширения газа является адиабатическим;
• электромагнитная волна является плоской и монохроматической.

Этап 3. Формулировка физических законов, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, входящих в рассматриваемую физическую систему.

Например:
• движение тела подчиняется второму закону Ньютона;
• взаимодействие материальных точек подчиняется закону Всемирного тяготения;
• деформации тела подчиняются закону Гука;
• сила, действующая на движущийся электрический заряд, описывается законом Лоренца.

Подобного рода теоретические модели, включающие в себя модели вещества, поля, условия движения и взаимодействий, а также законы этих взаимодействий будем называть физическими моделями объекта или процесса.

2. Математические модели

Построенные указанным выше способом физические модели записываются с помощью математических символов (знаков) в виде соответствующих комбинаций, например, в виде формул и уравнений. Естественно, что эти формулы и уравнения справедливы лишь в рамках этих физических моделей.

Совокупность формул, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, полученных в рамках выбранных физических моделей на основе законов физики, будем называть математической моделью объекта или процесса.

Процесс создания математической модели можно также разделить на на ряд этапов.

Этап 1 — составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов в рамках построенной физической модели. Этап включает запись в математических терминах сформулированных свойств объектов, процессов и связей между ними.

Этап 2 — исследование математических задач, к которым приходят на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение численных данных и теоретических следствий. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).

Этап 3 — выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений или следствия из них с результатами наблюдений в пределах точности последних, т.е. удовлетворяет ли принятая физическая и (или) математическая модель практике — основному критерию истинности наших представлений об окружающем мире.

Отклонение результатов расчетов от результатов наблюдений свидетельствует либо о неправильности применяемых математических методов анализа и расчета, либо о неверности принятой физической модели. Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя. Именно указанное несовпадение являлось и является одним из основных источников открытий, совершаемых в науке. Однако открытия совершаются не каждый день, а от ошибок никто не застрахован.

Часто при построении математической модели некоторые ее характеристики или связи между параметрами остаются неопределенными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. Например, оказывается, что число уравнений, описывающих физические свойства объекта или процесса и связи между объектами, меньше числа физических параметров, характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные соотношения, характеризующие объект исследования и его свойства, иногда даже пытаться угадать эти свойства, для того, чтобы задача могла быть решена и результаты соответствовали результатам опыта в пределах заданной погрешности. Подобного рода задачи называют обратными задачами. Решение обратных задач дает возможность более глубоко понимать изучаемые объекты и явления, разрабатывать физические модели более адекватные реальности.

3. Погрешности теоретических моделей

Проблема достоверности наших представлений об окружающем мире, т.е. проблема соответствия модели системы и самой реальной системы, является ключевой проблемой в теории познания. Эту проблему решают и философы, и представители любой конкретной науки. В настоящее время общепринято, что критерием истинности наших знаний является опыт.

В физике и технике считают, что модель адекватна объекту, если результаты теоретических исследований совпадают с результатами опыта в пределах погрешностей теоретических модели экспериментальных исследований.

Теория погрешностей эксперимента достаточно хорошо разработана. Источники таких погрешностей заложены как в природе самих явлений, так и в несовершенстве измерительных приборов. Исследование источников погрешностей эксперимента является предметом специальных и весьма сложных исследований.

Проблема погрешностей существует не только для предметного моделирования, но и в равной степени для теоретического моделирования.

При теоретическом моделировании, в соответствии с природой возникновения, будем различать:
• погрешности, связанные с неизбежно допускаемыми приближениями при разработке физической модели;
• погрешности, связанные с приближениями при составлении математической модели;
• погрешности метода анализа математической модели;
• погрешности, связанные с конечным числом разрядов чисел при вычислениях.

Эти погрешности называют методическими. При измерениях методические погрешности проявляют себя как систематические.

Поясним это на примере маятника. Математическая модель, описывающая малые колебания маятника в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, при отсутствии трения имеет вид дифференциального уравнения:

d²α/dt²+α(l/g)=0, где l — длина маятника, m — масса маятника (см. пояснения слева-вверху, В.К.),
α — угол отклонения нити от вертикального направления,
g — ускорение свободного падения.

Решение этого уравнения хорошо известно: это α = A sin(tl/g)^½ или α = A cos(tl/g)^½

В рассматриваемом случае погрешность физической модели обусловлена, например, пренебрежением размерами подвешенного тела, предположениями об отсутствии трения и невесомости и неизменности длины нити в процессе движения. Вместе с тем ясно, что в природе не существует материальных точек и недеформируемых тел и подвесов без трения.

Погрешность математической модели скажется в том случае, если приведенное выше уравнение будет применяться к реальным колебаниям маятника. Причина обусловлена тем, что при выводе этого уравнения использовалось приближение sin α ~ α., которое, строго говоря, справедливо лишь для случая бесконечно малых колебаний.

Погрешность метода анализа или решения математической модели возникнет тогда, если уравнение будет решаться (даже с помощью компьютера) численными методами. Причина состоит в том, что применение численных методов требует замены дифференциальных соотношений приближенными алгебраическими, когда бесконечно малые величины заменяются конечными разностями.

Наконец, компьютер при проведении арифметических операций и выводе результатов на печать выполняет действия с числами, состоящими из конечного числа разрядов, и выполняет процедуру округления. При этом также возникает своя погрешность.

Проблема построения и анализа математической модели с заданной точностью, а также оценка погрешности численных расчетов в ряде случаев очень сложна. Требуется высокая математическая культура исследователя, необходим тщательный предварительный анализ математической модели и применяемых методов решения. Не имеет смысла, например, требование решения с точностью, существенно превышающей точность построения физической модели.