Главная В избранное Контакты News О проекте Планы сайта Карта Гостевая
счетчик сайта
Размер шрифта:

>>Найти: на:

Кратко:

Лаплас любил повторять:

"Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель..."

 

Теоремы Эйлера, вытекающие из свойств непрерывных функций:

 

..1.Уравнение нечётной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечётно.

..2.Уравнение чётной степени либо имеет чётное число действительных корней, либо не имеет их совсем.

..3.Уравнение чётной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по меньшей мере два действительных корня разных знаков.

 

  Доказательство Эйлера основной Теоремы алгебры опубликовано в 1751 году

в работе "Исследования о воображаемых корнях уравнений".

Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.

Значения чисел, не являющиеся действительными, Эйлер называл воображаемыми и указывал, что обычно считают их таковыми, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа. Следовательно, если воображаемых корней будет 2m, то это даст m действительных квадратичных множителей в представлении многочлена.

 

Эйлер пишет:

"Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, ещё не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи".

Феликс Клейн:

"Благодаря Эйлеру устанавливается фундаментальное значение мнимых чисел в теории функций"

... В 1748г. Эйлер нашёл удивительное соотношение: eix=cosx_+_i_Sinx.

 

    

    

 

Леонард ЭЙЛЕР (часть 2).

© Владимир Каланов
"Знания-сила".

Необыкновенно широк был круг занятий Эйлера, охватывавших все отделы современной ему математики и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку, страховое дело и т.д. Более половины работ Эйлера относится к математике, остальная часть – преимущественно к ее приложениям. Свои результаты и результаты, полученные другими, ученый систематизировал в ряде классических монографий, написанных с поразительной ясностью и снабженных ценными примерами.

Большая часть содержания монографий Эйлера вошла затем в учебные руководства для высшей и частично средней школы. Невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых только немногие фигурируют в литературе под его именем (например, метод ломаных Эйлера, подстановки Эйлера, постоянная Эйлера, уравнения Эйлера, формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера, формула Эйлера – Маклорена, формулы Эйлера – Фурье, эйлерова характеристика, эйлеровы интегралы, эйлеровы углы).

В «Механике» Эйлер впервые изложил динамику точки при помощи математического анализа: свободное движение точки под действием различных сил как в пустоте, так и в среде, обладающей сопротивлением; движение точки по данной линии или по данной поверхности; движение под действием центральных сил. В 1744 он впервые корректно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его первые применения. В «Теории движения твердого тела» Эйлер разработал кинематику и динамику твердого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов. В своей теории корабля Эйлер внес ценный вклад в теорию устойчивости. Значительны открытия Эйлера в небесной механике (например, в теории движения Луны), механике сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера и в так называемых переменных Лагранжа, колебания газа в трубах и пр.). В оптике Эйлер дал (1747) формулу двояковыпуклой линзы, предложил метод расчета показателя преломления среды. Эйлер придерживался волновой теории света. Он считал, что различным цветам соответствуют разные длины волн света. Эйлер предложил способы устранения хроматических аберрации линз и дал методы расчета оптических узлов микроскопа. Обширный цикл работ, начатый в 1748, Эйлер посвятил математической физике: задачам о колебании струны, пластинки, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближенных методов анализа, специальных функций, дифференциальной геометрии и т.д. Многие математические открытия Эйлера содержатся именно в этих работах

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 г. Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня — и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: “Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой”, — философски заметил он.

До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомное сочинение “Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении”, изданное в 1736 г., принесло ему мировую славу. Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде.

“Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью” , — заканчивает Эйлер своё предисловие к книге.

Дух времени требовал аналитического пути развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений. Этот путь и начал прокладывать Леонард Эйлер.“30-летний Эйлер стал знаменитостью, — пишет его биограф Отто Шпис. — Однако плохо, что он жил в далёком Петербурге, где Академия не пользовалась должным уважением, и к тому же в постоянной вражде с “правителем дел” Шумахером”.

Обстоятельства ухудшились, когда в 1740 г. умерла императрица Анна Иоанновна, царём был объявлен малолетний Иоанн VI. “Предвиделось нечто опасное, — писал позднее Эйлер в автобиографии. — После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве… положение начало представляться неуверенным”. Эйлер принимает предложение прусского короля, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях.

В соответствии с поданным “Эйлером прошением он был “отпущен от Академии в 1741 году” и утверждён почётным академиком. Он обещал по мере своих сил помогать Петербургской Академии — и действительно помогал весьма существенно все 25 лет, пока не вернулся обратно в Россию. В июне 1741 г. Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин.

В течение всего времени пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почётным членом Петербургской Академии. Как он и обещал при отъезде из Петербурга, он по-прежнему печатал многие из своих трудов в изданиях Петербургской Академии; редактировал математические отделы русских журналов; приобретал из Петербурга книги инструменты; много раз и у него на квартире, на полном пансионе, разумеется, за соответствующую оплату (которую, кстати, канцелярия Академии присылала с большим опозданием), годами жили молодые русские учёные, командированные на стажировку.

В 1742 г. вышло четырёхтомное собрание сочинений И. Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, пожилой учёный писал своему ученику: “Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости”.

Эйлер оправдал надежды своего учителя. Одна за другой выходят его научные работы колоссальной важности: “Введение в анализ бесконечных” (1748г.), “Морская наука” (1749г.), “Теория движения луны” (1753г.), “Наставление по дифференциальному исчислению” (1755г.) — не говоря уже о десятках статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий.

Огромную популярность приобрели в XVIII, а также и в XIX в. Эйлеровы “Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе…”, которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках.

Эйлер не стремится удивить читателя; он вместе с читателем как бы проходит весь путь, ведущий к открытию, показывает всю цепь рассуждений и умозаключений, приводящую к результату. Он умеет поставить себя в положение ученика; он знает, в чём ученик может встретить затруднение и стремится предупредить это затруднение.

В 1757 г. Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения. Почти сто лет спустя, когда во многих странах — и, прежде всего, в Англии — стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов.

Одна из отличительных сторон творчества Эйлера – его исключительная продуктивность. Только при его жизни было опубликовано около 550 его книг и статей (список трудов Эйлера содержит примерно 850 названий). В 1909 Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера, которое было завершено в 1975; оно состоит из 72 томов. Большой интерес представляет и колоссальная научная переписка Эйлера (около 3000 писем), до сих пор опубликована лишь частично.

>>>Читайте дальше: Леонард Эйлер (часть 3).

Леонард Эйлер [1 2 3]

 
 
Главная В избранное Контакты Новости О проектеПланы сайта

 

 

 

 

   
Rambler's Top100 Рейтинг лучших сайтов категории Наука / Образование Рейтинг ASTROLAB


© KV