Главная В избранное Контакты News О проекте Планы сайта Карта Гостевая
счетчик сайта
Размер шрифта:

>>Найти: на:

Кратко:

Лаплас любил повторять:

"Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель..."

 

Теоремы Эйлера, вытекающие из свойств непрерывных функций:

 

..1.Уравнение нечётной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечётно.

..2.Уравнение чётной степени либо имеет чётное число действительных корней, либо не имеет их совсем.

..3.Уравнение чётной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по меньшей мере два действительных корня разных знаков.

 

  Доказательство Эйлера основной Теоремы алгебры опубликовано в 1751 году

в работе "Исследования о воображаемых корнях уравнений".

Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.

Значения чисел, не являющиеся действительными, Эйлер называл воображаемыми и указывал, что обычно считают их таковыми, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа. Следовательно, если воображаемых корней будет 2m, то это даст m действительных квадратичных множителей в представлении многочлена.

Эйлер пишет:

"Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, ещё не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи".

Феликс Клейн:

"Благодаря Эйлеру устанавливается фундаментальное значение мнимых чисел в теории функций"

... В 1748г. Эйлер нашёл удивительное соотношение: eix=cosx_+_i_Sinx.

 

Леонард ЭЙЛЕР (часть 3).

© Владимир Каланов
"Знания-сила".

Главным делом Эйлера как математика явилась разработка математического анализа. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечно малых И. Ньютона, Г. Лейбница, братьев Бернулли. Так, Эйлер первый ввел функции комплексного аргумента и исследовал свойства основных элементарных функций комплексного переменного (показательные, логарифмические и тригонометрические функций); в частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной. Работы Эйлера в этом направлении положили начало теории функций комплексного переменного. Эйлер явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума...» (1744). Метод, с помощью которого Эйлер в 1744 вывел необходимое условие экстремума функционала – уравнение Эйлера, явился прообразом прямых методов вариационного исчисления XX в. Эйлер создал как самостоятельную дисциплину теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближенные методы и ряд приемов решения уравнений с частными производными. Значительную часть этих результатов Эйлер собрал в своем «Интегральном исчислении».

Эйлер является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как геометрические отрезки в круге. Им получены почти все классические разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория γ-функции. Он исследовал свойства эллиптических интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, ζ-функции, некоторых θ-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.

Эйлер впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввел ζ-функцию и доказал так называемое тождество Эйлера, связывающее простые числа со всеми натуральными.

Велики заслуги Эйлера и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высших степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также так называемое тождество Эйлера о четырех квадратах. Эйлер значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях второго порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввел понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развертывающихся поверхностей и т.д. Эйлер занимался и отдельными вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках. Эйлера-математика нередко характеризуют как гениального «вычислителя». Действительно, он был непревзойденным мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид (например, ему принадлежат обозначения для e и π). Эйлер внёс в науку ряд глубоких идей, которые и ныне  служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.

В 1762 г. на русский престол вступила Екатерина II, получившая прозвище “Великая”, которая осуществляла политику “просвещённого абсолютизма”. Она хорошо понимала значение науки как для процветания государства, так и для собственного престижа; провела ряд важных  преобразований в системе народного просвещения и культуры. Фридрих II “отпускал” на Берлинскую Академию лишь 13 тыс. талеров в год, а Екатерине II ассигновала свыше 60 тыс. рублей — сумму более значительную. Императрица приказала предложить Эйлеру управление математическим классом (отделением), звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. “А если не понравится, — говорилось в письме, — благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург”.

Эйлер подаёт Фридриху прошение об увольнении со службы. Тот не отвечает. Эйлер пишет вторично — но Фридрих не желает даже обсуждать вопрос об отъезде Эйлера. В ответ на это Эйлер перестаёт работать для Берлинской Академии. 30 апреля 1766 г. Фридрих разрешает наконец-то уехать в Россию великому учёному. Сразу же по прибытии Эйлер был принят императрицей. Екатерина осыпала учёного милостями: пожаловала деньги на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

После возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза — он перестал видеть. Однако это не отразилось на его работоспособности. Он диктует свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки. В 1771 г. в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спас приехавший ранее из Базеля швейцарский ремесленник Петр Гримм. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть “Новой теории движения луны”, но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память.

Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом, расположение комнат и предметов в котором было ему незнакомо. Однако эта неприятность оказалась, к счастью, лишь временной. В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Венцель, который согласился сделать Эйлеру операцию — и удалил с левого глаза катаракту. За работой приезжей знаменитости приготовились было наблюдать 9 местных светил медицины. Но вся операция заняла 3 минуты — и Эйлер снова стал видеть! Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать — лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Но разве мог Эйлер “не вычислять” ? Уже через несколько дней после операции он снял повязку. И вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно. Однако, как ни странно, отнёсся он к событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе, кстати сказать, вполне разборчиво, ибо кое-как мог отличить белый цвет от темноты.

В 1773 г. по рекомендации Д. Бернулли в Петербург приехал из Базеля его ученик Никлаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет — до самой своей смерти — Эйлер именно ему диктовал свои труды. В 1773 г. умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье. В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения “глазами старшего сына” и ряда своих учеников В сентябре 1783 г. учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи. Беседуя с А. И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести “Я умираю” — и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: “Леонарду Эйлеру — Петербургская Академия”.

>>>В начало раздела: "Великие ученые и философы"

Леонард Эйлер [1 2 3]

 
 
Главная В закладки Контакты Новости О проекте Планы сайта

 

 

 

 

   
Rambler's Top100 Рейтинг лучших сайтов категории Наука / Образование Рейтинг ASTROLAB


© KV