… Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель.
Пьер-Симон Лаплас (1749–1827)
… Благодаря Эйлеру устанавливается фундаментальное значение мнимых чисел в теории функций.
Феликс Клейн (1849–1925)
Теоремы Эйлера, вытекающие из свойств непрерывных функций:
1. Уравнение нечётной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечётно.
2. Уравнение чётной степени либо имеет чётное число действительных корней, либо не имеет их совсем.
3. Уравнение чётной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по меньшей мере два действительных корня разных знаков.
Доказательство Эйлера основной Теоремы алгебры опубликовано в 1751 году в работе "Исследования о воображаемых корнях уравнений".
Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного
положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.
Значения чисел, не являющиеся действительными, Эйлер называл воображаемыми и указывал, что обычно считают их таковыми, которые попарно в сумме и произведении
дают действительные числа. Следовательно, если воображаемых корней будет 2m, то это даст m действительных квадратичных множителей в представлении многочлена.
Эйлер пишет:
"Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, ещё не
доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи".
В 1748г. Эйлер нашёл удивительное соотношение: eix=cosx + i Sinx
Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и
логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические
монографии Эйлера. Он был, прежде всего, математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность.
Леонард Эйлер (1707-1783)
Имя Эйлера дорого всему прогрессивному человечеству, которое чтит в нём одного из величайших геометров мира. В качестве члена Петербургской и
Берлинской Академий наук Эйлер содействовал развитию математических наук в обеих странах и распространению в них физико-математических знаний.
Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям
математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный. Но в первую очередь он был математиком.
Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков.
"Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель" , — любил повторять Лаплас. И труды Эйлера с большой пользой для себя читали — точнее, изучали — и "король
математиков" Карл Фридрих Гаусс, и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы
побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений.
Всем нам знакомы понятия о точках Эйлера, прямой Эйлера и окружности Эйлера в треугольнике; о теореме Эйлера для многогранников. Один из
простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет, называется методом ломаных Эйлера; во
многих разделах математики важную роль играют Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера). В механике при описании движения тел пользуются углами
Эйлера, в гидродинамике рассматривается число Эйлера… Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших
математиков всех времён и народов, гений XVIII в.Леонард Эйлер.
Юность
В 1663 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но учёных теологов было в те годы больше, чем
требовалось, и лишь в 1701 г. он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери
священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом.
Начальное обучение Леонардо прошёл дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Добрый пастор готовил старшего
сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся
математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого. Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в базельскую латинскую гимназию — под надзор бабушки.
20 октября 1720 г. 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал
священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонарда по иному пути.
Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И немудрено, что способный мальчик вскоре обратил на
себя внимание Бернулли. Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме
своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли — Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. А 8 июня 1724 г. 17-летний
Леонард Эйлер произнёс по-латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона — и был
удостоен учёной степени магистра (в XIX в. в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии).
В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. Другая работа, "Диссертация по физике о звуке", также получившая
благоприятный отзыв, была представлена на конкурс для замещения неожиданно освободившейся в Базельском университете должности профессора физики. Но,
несмотря на положительный отзыв о "Диссертации", 19-летнего Эйлера сочли слишком юным, чтобы включить в число кандидатов на профессорскую кафедру. Однако это
обстоятельство обернулось счастьем и для самого Эйлера и для науки в целом.
Петербургская Академия
В начале зимы 1726 года Эйлеру сообщили из Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъю́нкта по физиологии.
Эйлер был молод и по́лон энергии. Ни в магистрате, ни в университете он не мог найти применения своим силам и способностям. 5 апреля 1727 года он навсегда покидает Швейцарию.
В начале XVIII в. великий философ и математик Г.В. Лейбниц разработал проект создания академий в различных городах Европы. По просьбе Петра
I Лейбниц прислал и в Петербург несколько писем-рекомендаций по организации Академии. 22 января 1724 г. Пётр I утвердил проект устройства Петербургской
Академии. 28 января вышел указ сената о создании Академии. Из двадцати двух профе́ссоров и адъю́нктов, приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые
занимались также механикой, физикой, астрономией, картогра́фией… С первых лет своего существования Петербургская Академия занялась и подготовкой русских
учёных. Позднее, при Академии созданы университет и гимназия.
Академия обратилась к своим членам с просьбой: составить руководства для первоначального обучения наукам. И Эйлер, не считаясь со
временем, составил на немецком языке прекрасное "Руководство к арифметике", которое вскоре было переведено на русский и
сослужило добрую службу многим учащимся. Перевод первой части выполнил в 1740 г. первый русский адъю́нкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров. На русском
языке это было первым изложением арифметики как математической науки.
В 1730 г., когда на русский престол вступила Анна Иоанновна, страной фактически стали править её приближённые. Они видели в Академии
учреждение, которое требовало много денег и не приносило ощутимой пользы. Ходили даже слухи о скором закрытии Академии. Однако Академия продолжала существовать.
Освободившееся место профессора физики было предложено Эйлеру. Одновременно он получил и значительное увеличение оклада. Ещё через два года Эйлер стал
академиком и профессором чистой математики.
В один из последних дней 1733 г. 26-летний Леонард Эйлер женился на дочери живописца Екатерине Гзель, которой в это время тоже было 26
лет. Свадьба, Новый год — два праздника сразу! Вся Академия сердечно поздравляет молодожёнов. Оказывается, великий математик может не только вычислять и
анализировать, он не чужд и мирско́й жизни. Молодожёнам преподнесли сочинённые к случаю стихи. Вот одна строфа́ из них:
В том усомниться мог ли кто-то, Что Эйлер удивит весь мир, Что только цифры и расчёты Его единственный кумир
Теперь совсем в другом он мире, Где чувства, счастье и любовь И то, что дважды два — четыре, Доказывать придётся вновь!
