Главная В избранное Контакты News О проекте Планы сайта Карта
счетчик сайта
Размер шрифта:

Кратко:

Моделирование в физике

Развитие вычислительной техники существенно расширяет возможности моделирования различных физических процессов и технических устройств. В науке и технике все чаще дорогостоящие натурные эксперименты и модели стараются заменить или дополнить созданием и исследованием их математических моделей.

Однако в существующей учебной литературе по физике изложение вопросов моделирования имеет существенные пробелы и недостатки. Даже в последнем издании физического энциклопедического словаря моделирование физических процессов и устройств сведено к описанию разработки натурных моделей. В других источниках не совсем четко разделены сами понятия физической и математической моделей. Вместе с тем, очевидно, что при решении любой задачи по физике, не говоря уже о научных исследованиях, математическому моделированию (составлению уравнений) обязательно предшествует процесс создания физической модели. В данной работе определяются понятия физической и математической моделей, приводится описание этапов построения таких моделей

Последовательное и сознательное осуществление этих этапов в учебном процессе может позволить существенно облегчить и упростить понимание и восприятие учащимися не только учебного материала, но и процесса научного исследования. Практика нашей работы показала, что обсуждение этих вопросов с учащимися не только облегчает, но и оживляет учебный процесс, ставит его на научную основу. Во многих случаях обсуждение содержания физических моделей оказывается вполне достаточным для глубокого понимания учащимися физических явлений и процессов.

Далее см. "Теоретические модели физических систем и процессов".

 

Пояснение к задаче о маятнике, затронутой в статье:

Движение физического маятника зависит не только от массы, но и от размеров и формы подвешенного тела, а также от длины и массы нити, к которой оно прикреплено.

математический маятник

Математическим маятником принято считать движение материальной точки, подвешенной в поле тяжести на невесомой и нерастяжимой нити.

математический маятникКогда нить занимает вертикальное положение, сила тяжести mg компенсируется силой натяжения нити T и точка (тело) массой m находится в равновесии. Если отклонить и отпустить тело, возникнут колебания. Оно будет двигаться по дуге окружности со скоростью, максимальной в положении равновесия и равной нулю в крайних точках.

Центростремительное ускорение (переменное) обеспечивается силой натяжения нити, а изменение скорости (тангенциальное ускорение) определяется проекцией результирующей силы mg+T на касательную к окружности. Эта компонента равна mgsinα, поскольку сила натяжения нити T перпендикулярна к касательной.

Смещение тела из положения равновесия по дуге S окружности пропорционально углу отклонения α (в радианах): S=Lα, где длина нити L задаёт радиус круговой траектории.

Поэтому тангенциальное ускорение,

a=d2S/dt2=L(d2α/dt2)

и уравнение движения (второй закон Ньютона) принимает вид:

mL(d2α/dt2)= -mgsinα

Если отклонения нити от вертикали при колебаниях не превышают 7°, sinα отличается от угла α, измеренного в радианах, менее чем на 0,5 %.

Значит, уравнение для малых колебаний маятника можно упростить, заменив в нём sinα на α. В результате получим уравнение гармонических колебаний, решением которого должна быть функция, вторая производная которой совпадает с исходной функцией, взятой с обратным знаком. Такому условию удовлетворяют синус и косинус, переходящие друг в друга при изменении аргумента на пи/2.

В. Каланов "Знания-сила"

 

ГИПОТЕЗЫ, ФАКТЫ, РАССУЖДЕНИЯ

Теоретические модели физических систем и процессов.

Комментарий автора сайта: Предлагаю вашему вниманию статью д.т.н., профессора И.3. Джилавдари (Белорусский национальный технический университет) и В.В. Сидорик, описывающую общие подходы к моделированию физических процессов.

ВВЕДЕНИЕ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 3. ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 4. ОСОБЕННОСТИ ПРЕДМЕТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 5. РАЗЛИЧИЕ в МЕТОДАХ РАБОТЫ Физиков и ИНЖЕНЕРОВ 6. О значении точности измерений в науке.

Введение. Реальные объекты и явления материального мира чрезвычайно сложны. Человеческое сознание не в состоянии охватить все свойства этих объектов и связи между ними. По этой причине в процессе описания и изучения реальных объектов человек вынужден упрощать их свойства, т. е. заменять реальные объекты их моделями. В широком смысле любой образ какого-либо объекта, в том числе и мысленный, называют моделью.

Моделированием называется целенаправленное исследование явлений, процессов или объектов путем построения и изучения их моделей.

Любой метод научного исследования базируется, по существу, на идее моделирования. При этом различают теоретические методы, для которых используются различного рода знаковые, абстрактные модели, и экспериментальные методы, для которых используют предметные модели. Предметное моделирование предполагает проведение реального физического эксперимента или построение макета, имитирующего реальный эксперимент. В ряде случаев предметное моделирование требует создания сложных и дорогостоящих установок, что не всегда оправдано.

На всём пути теоретического моделирования, начиная от выбора модели и интерпретации результатов, существует целая группа сложных проблем. Основные проблемы следующие:
1. Создание физической модели путём идеализации содержания реальной задачи.
2. Создание математической модели, описывающей физическую модель.
3. Исследование математической модели.
4. Получение, интерпретация и проверка результатов.

1. Физические модели.

Физика как наука о природе, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства материального мира, также базируется на моделях объектов материального мира. Эти модели характеризуются определенными понятиями: пространство, время, система отсчета, масса, скорость, импульс, электрическое или магнитное поле, температура, влажность и другие. Указанные физические понятия называют физическими величинами или физическими параметрами.

Физическая величина — свойство, общее в качественном отношении для множества объектов, но индивидуальное в количественном для каждого из них.

При построении физической модели необходимо в системе материальных объектов выделить и "идеализировать" физические тела, поля, условия движения, взаимодействия, ввести физические величины, характеризующие свойства объектов, сформулировать физические законы, описывающие связь между этими понятиями и взаимодействия между материальными объектами. При построении физических моделей можно выделить три этапа.

Этап 1. Моделирование полей и вещества.

• рассматриваемый объект представляет собой материальную точку; • рассматриваемое тело является абсолютно твердым; • рассматриваемое тело является абсолютно упругим; • электрическое поле, в котором расположены тела, является постоянным и однородным; • жидкость, текущая в трубе является несжимаемой и не имеет вязкости; • газ в данном объеме является идеальным газом.

Этап 2. Моделирование условий движения и взаимодействий реальных объектов в рамках выбранных моделей полей и вещества для рассматриваемых реальных систем.

Например:
• движение происходит в инерциальной системе отсчета;
• удар является абсолютно упругим;
• тело движется при условиях, когда трение отсутствует;
• сила трения не зависит от скорости;
• материальная точка движется прямолинейно, равноускоренно;
• деформации тела являются линейными;
• силы взаимодействия консервативны;
• система взаимодействующих тел замкнута;
• процесс расширения газа является адиабатическим;
• электромагнитная волна является плоской и монохроматической.

Этап 3. Формулировка физических законов, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, входящих в рассматриваемую физическую систему.

Например:
• движение тела подчиняется второму закону Ньютона;
• взаимодействие материальных точек подчиняется закону Всемирного тяготения;
• деформации тела подчиняются закону Гука;
• сила, действующая на движущийся электрический заряд, описывается законом Лоренца.

Подобного рода теоретические модели, включающие в себя модели вещества, поля, условия движения и взаимодействий, а также законы этих взаимодействий будем называть физическими моделями объекта или процесса.

2. Математические модели.

Построенные указанным выше способом физические модели записываются с помощью математических символов (знаков) в виде соответствующих комбинаций, например, в виде формул и уравнений. Естественно, что эти формулы и уравнения справедливы лишь в рамках этих физических моделей.

Совокупность формул, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, полученных в рамках выбранных физических моделей на основе законов физики, будем называть математической моделью объекта или процесса.

Процесс создания математической модели можно также разделить на на ряд этапов.

Этап 1 — составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов в рамках построенной физической модели. Этап включает запись в математических терминах сформулированных свойств объектов, процессов и связей между ними.

Этап 2 — исследование математических задач, к которым приходят на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение численных данных и теоретических следствий. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).

Этап 3 — выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений или следствия из них с результатами наблюдений в пределах точности последних, т.е. удовлетворяет ли принятая физическая и (или) математическая модель практике — основному критерию истинности наших представлений об окружающем мире.

Отклонение результатов расчетов от результатов наблюдений свидетельствует либо о неправильности применяемых математических методов анализа и расчета, либо о неверности принятой физической модели. Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя. Именно указанное несовпадение являлось и является одним из основных источников открытий, совершаемых в науке. Однако открытия совершаются не каждый день, а от ошибок никто не застрахован.

Часто при построении математической модели некоторые ее характеристики или связи между параметрами остаются неопределенными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. Например, оказывается, что число уравнений, описывающих физические свойства объекта или процесса и связи между объектами, меньше числа физических параметров, характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные соотношения, характеризующие объект исследования и его свойства, иногда даже пытаться угадать эти свойства, для того, чтобы задача могла быть решена и результаты соответствовали результатам опыта в пределах заданной погрешности. Подобного рода задачи называют обратными задачами. Решение обратных задач дает возможность более глубоко понимать изучаемые объекты и явления, разрабатывать физические модели более адекватные реальности.

3. Погрешности теоретических моделей.

Проблема достоверности наших представлений об окружающем мире, т.е. проблема соответствия модели системы и самой реальной системы, является ключевой проблемой в теории познания. Эту проблему решают и философы, и представители любой конкретной науки. В настоящее время общепринято, что критерием истинности наших знаний является опыт.

В физике и технике считают, что модель адекватна объекту, если результаты теоретических исследований совпадают с результатами опыта в пределах погрешностей теоретических модели экспериментальных исследований.

Теория погрешностей эксперимента достаточно хорошо разработана. Источники таких погрешностей заложены как в природе самих явлений, так и в несовершенстве измерительных приборов. Исследование источников погрешностей эксперимента является предметом специальных и весьма сложных исследований.

Проблема погрешностей существует не только для предметного моделирования, но и в равной степени для теоретического моделирования.

При теоретическом моделировании, в соответствии с природой возникновения, будем различать: • погрешности, связанные с неизбежно допускаемыми приближениями при разработке физической модели; • погрешности, связанные с приближениями при составлении математической модели; • погрешности метода анализа математической модели; • погрешности, связанные с конечным числом разрядов чисел при вычислениях.

Эти погрешности называют методическими. При измерениях методические погрешности проявляют себя как систематические.

Поясним это на примере маятника. Математическая модель, описывающая малые колебания маятника в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, при отсутствии трения имеет вид дифференциального уравнения:

d2α/dt2+α(l/g)=0, где l — длина маятника, m — масса маятника (см. пояснения слева, В.К.),
α — угол отклонения нити от вертикального направления,
g — ускорение свободного падения.

Решение этого уравнения хорошо известно: это α = A sin(tl/g)1/2 или α = A cos(tl/g)1/2

В рассматриваемом случае погрешность физической модели обусловлена, например, пренебрежением размерами подвешенного тела, предположениями об отсутствии трения и невесомости и неизменности длины нити в процессе движения. Вместе с тем ясно, что в природе не существует материальных точек и недеформируемых тел и подвесов без трения.

Погрешность математической модели скажется в том случае, если приведенное выше уравнение будет применяться к реальным колебаниям маятника. Причина обусловлена тем, что при выводе этого уравнения использовалось приближение sin α ~ α., которое, строго говоря, справедливо лишь для случая бесконечно малых колебаний.

Погрешность метода анализа или решения математической модели возникнет тогда, если уравнение будет решаться (даже с помощью компьютера) численными методами. Причина состоит в том, что применение численных методов требует замены дифференциальных соотношений приближенными алгебраическими, когда бесконечно малые величины заменяются конечными разностями.

Наконец, компьютер при проведении арифметических операций и выводе результатов на печать выполняет действия с числами, состоящими из конечного числа разрядов, и выполняет процедуру округления. При этом также возникает своя погрешность.

Проблема построения и анализа математической модели с заданной точностью, а также оценка погрешности численных расчетов в ряде случаев очень сложна. Требуется высокая математическая культура исследователя, необходим тщательный предварительный анализ математической модели и применяемых методов решения. Не имеет смысла, например, требование решения с точностью, существенно превышающей точность построения физической модели.

>>>Читайте дальше: Теоретические модели физических систем и процессов (часть 2).

Знания и теория познания [1 2]Природа магнитного поля Земли и планетИерархия и пределы ВселеннойСтолкновения с 030Выстрел по ... Земле?Кризис технической цивилизацииСознание - много знанийЗнание и вера [1 2]Гипотеза существования СупермираТест на Homo Sapiens [1 2]Гипотезы о происхождении жизниЛабораторная модель ЗемлиЭволюция Земли: новый взгляд на проблемуЛунный гелий-3 [1 2]Разум как космическое явлениеЧеловек и техносфера (фильм)Горы Земли [1 2 3]Альтернативная гипотеза эволюции солнечной системыАктивные сгустки энергии в атмосфере Земли [1 2]Составная волнаПятая силаТорсионная физика [1 2]История познания образования нефти завершилась [1 2 3]Семь кирпичей для храма Вселенной [1 2 3]Мировой РазумЧеловек-посредникШаровая молния - дитя квазичастицы [1 2]Конец светаТеоретические модели физических систем и процессов[1 2]

 
 
Главная В закладки Контакты Новости О проекте Планы сайта

open
© KV


 


 

Применение ЭВМ значительно увеличило возможности построения и исследования математических моделей в прикладных областях. Однако не следует думать, что совершенное знание математики, численных методов и языков программирования позволяют решить любую физическую и прикладную задачу. Это объясняется тем, что даже самые изящные и точные методы расчетов не могут исправить ошибки, допущенные при построении физической модели.

Закрыть урок