Main pageAddThis Social Bookmark Button Contacts News About us Our plans Map Guestbook
Wladimir Kalanov - Wissen ist Macht
counter
Schriftgrad:

>>To find: on:

Kurz:

Laplase pflegte zu wiederholen:

Die Eilers Theoreme, die aus der Eigenschaften der kontunuierlichen Funktionen folgen:

1. Die Gleichung der ungeraden Potenz hat wenigstens eine wirkliche Wurzel. Wenn es solche Wurzeln mehr als eine gibt, so ist deren Zahl ungerade.

2. Die Gleichung der geraden Potenz hat entweder eine gerade Anzahl der wirklichen Wurzeln, oder ganz keine Wurzeln.

3. Die Gleichung der geraden Potenz mit dem negativen freien Glied hat wenigstens zwei wirkliche Wurzeln von verschiedenen Vorzeichen.

 

Eilers Beweis des Grundtheorems der Algebra wurde 1751 in seinem Werk "Untersuchungen von den imaginären Gleichungswurzeln" veröffentlicht.

Das Grundtheorem bestand darin, dass alle Wurzeln der Gleichung zum Felde von komplexen Zahlen gehören. Zum Beweis solch einer These hat Eiler festgestellt, dass sich jedes Polinom mit den wirklichen Koeffizienten auf das Produkt der wirklichen linearen oder quadratischen Multiplikatoren zerlegen lässt.

Die nicht wirklichen Zahlenwerte bezeichnete Eiler als imaginäre. Dabei wies Eiler darauf hin, dass man für die imaginären solche Zahlenwerte hält, die paarweise die Summen und die Produkte der wirklichen Zahlen bilden. Also wenn es 2m imaginäre Wurzeln gibt, so haben wir m wirkliche quadtatische Multiplikatoren in der Darstellung eines Polynoms.

 

Eiler schrieb:

"Deshalb sagt man, dass jede Gleichung, die sich nicht auf wirkliche einfache Multiplikatoren zerlegen lässt, immer die wirklichen Multiplikatoren der zweiten Potenz besitzt. Doch niemand, meines Wissens, hat die Wahrhaftigkeit dieser Meinung genau genug bewiesen; ich bemühe mich deshalb, diese Meinung für ohne Ausnahme alle Fälle zu beweisen".

 

Felix Klein:

"Dank Eiler wird die fundamentale Bedeutung der imaginären Zahlen in Theorie der Funktionen festgesetzt".

... 1748 hat Eiler das erstaunliche Verhältnis gefunden:

eix=cosx_+_i_Sinx.

 

 

    

    

 

Leonhard Eiler (Fortsetzung)


© Wladimir Kalanov,
"Wissen ist Macht".

Nach dem Tode der Kaiserin Anna Ioannowna (1740) und wegen des begonnenen Auseinanders mit der Thronfolge hat sich in der Hauptstadt eine beunruhigende Lage gebildet. Für Eiler, wie er in seiner Biographie schrieb, "begann die Lage unsicher zu scheinen".

Zu dieser Zeit beschloß der preußische König Friedrich II., die von Leibnitz gegrundete und schon längst nicht tätige Berliner Gesellschaft für Wissenschaften ins Leben zurückzurufen.

Bald darauf übergab der preußische Botschafter in Petersburg von Friedrich II. für Eiler die Einladung mit dem Anstellungsangebot in Berliner Akademie. Eiler hat die Einladung angennomen und im Januar 1741 ist nach Berlin abgereist. Die Petersburger Akademie hat dem Eiler den Titel des Ehrenmitglieds der Akademie zugesprochen.

In Berlin wurde Eiler zum Mitglied der wiederaufgebauten Königsakademie der Wissenschaften und bekam die Stellung des Dekans der mathematischen Abteilung.

Die meisten Eilers Werke sind der mathematischen Analyse gewidmet. Er hat die Grundlagen der einigen mathematischen Disziplinen geschaffen, die im weiteren fast unveränderlich in die Universitätskurse der höheren Mathematik eingeschlossen wurden. Zum Beispiel hat Eiler die Funktionen des Komplexarguments eingeführt. Er untersuchte die Funktionen der Komplexvariablen: die Exponential-, Logarithmen- und Trigonometriefunktionen; er hat die Formel abgeleitet, die die trigonometrische Funktion mit der exponentialen verbindet.

1743 hat Eiler vier Werke in Mathematik herausgegeben, in einem von deren legte er die Methode der Integrierung der rationalen Brüche durch die Zerlegung auf Einzelbrüche dar. Er beschrieb auch die nun gewöhnlich gewordene Methode der Integrierung von linearen Gleichungen der höheren Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Eiler hat das neue Kapitel der mathematischen Analyse - die Variationsrechnung gegründet, deren Grundlagen in der Arbeit "Die Methode für Auffinden der Kurven, die die Eigenschaft des Extremus besitzen" dargelegt wurden.

Lagrange hat die Methoden der Variationsrechnung weiter entwickelt. Als Ergebnis hat sich die neue mathematische Wissenschaft gestaltet.

Als selbständige mathematische Disziplin entwickelte Eiler die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen und schuf die Grundlagen der Theorie der Gleichungen mit einzelnen Ableitungen. In dem Werk "Integralrechnung" beschrieb Eiler viele seine Entdeckungen und Methoden zur Lösung der ganzen Reihe von Gleichungen und führte neue Begriffe und Koeffiziente ein, die in der mathematischen Literatur als "eilerische" genannt worden sind. Zum Beispiel: Substitutionen von Eiler, Eilerszahl, Eilersfunktion, Eilersintegrale usw. Eiler führt hier auch ein klassisches Lösungsverfahren für die linearen Gleichungen mit konstanten Koeffizienten ein, er erläutert die Variationsmethode der arbiträren Konstanten und die Lehre über den integrierenden Multiplikator.

Eiler erarbeitete die Theorie der Spezialfunktionen. Er betrachtete zum ersten Mal Sinus und Kosinus als Funktionen und nicht als Strecken in einem Kreis. Er hat die Theorie der Reihen weiter entwickelt und die Eigenschaften der elliptischen Integrale, der zylindrischen und der hyperbolischen Funktionen untersucht. Eiler hat die θ - und ζ - Funktionen (Eilers Funktionen) vorgeschlagen.

Eilers Untersuchungen bildeten die grandiose Trilogie: "Einleitung in Analyse", "Differentialrechnung" und "Integralrechnung". Damit bildete sich die mathematische Analyse endgültig heraus und zwar als selbständiger Wissenzweig der Mathematik und eine der größten Errungenschaften des menschlichen Gedankens.

Nicht weniger erfolgreich als in der Analyse arbeitete Eiler auch auf anderen Gebieten der Mathematik. In Algebra hat er beispielsweise die Methoden der Lösung in Radikalen der Gleichungen von höheren Graden und der Gleichungen mit zwei Unbekannten beschrieben.

Er hat die Identitäl von vier Quadraten (sogenannte Eilers Identität) bewiesen.

Fünfundsiebzig (!) Werke hat Eiler der Geometrie gewidmet. Nicht alle Werke sind gleichwertig, aber einige darunter bildeten in Mathematik eine Epoche. Eiler hat als erster eine folgerichtige Darlegung der analytischen Geometrie im Raum erledigt. Die sogenannten Eilers Winkeln ermöglichen, die Drehung des Körpers um den Punkt zu erlernen.

1752 erschien sein Werk "Beweis der einigen bemerkenswerten Eigenschaften von Körpern, die mit platten Flächen begrenzt sind". In dem Werk hat Eiler das Verhältnis zwischen der Anzahl von Scheiteln, Kanten und Flächen des Vielflaches bestimmt. Dieses Verhältnis ist so: Die Summe der Anzahl von Scheiteln und Flächen ist gleich der Anzahl von Kanten plus zwei. Bereits Rene Deskartes vermutete dieses Verhältnis, aber erst Eiler hat dies in seinem Werk bewiesen. Im Grunde genommen, war es das erste in der Mathematikgeschichte Theorem der Topologie - des tiefsten Kapitels der Geometrie.

In der Differentialgeometrie hat Eiler die Eigenschaften der geodesischen Linien eingehend untersucht und den Grund zur Theorie der Oberflächen gelegt. Er begann auch das Erlernen der Mantelflächen. Er hat das berühmte Theorem davon bewiesen, dass jede Oberfläche, die sich durch das Biegen bilden kann, ohne dass ausgedehnt oder gepreßt zu werden, und wenn sie nicht konisch und nicht zylindrisch ist, eine Gesamtheit der Tangenten zu einer räumlichen Kurve vorstellt.

Es gibt keinen Gelehrten, dessen Name so oft wie Eilers Name in den Lehrbüchern für Mathematik erwähnt wird. Eiler hat alle Theoreme von Ferma bewiesen (eines darunter erwies sich als nicht korrekt). Das bekannte Große Theorem Fermas wurde von Eiler für "drei" und "vier" bewiesen. Eiler bewies auch, dass jede ganze Zahl der Form 4n+1 immer auf die Summe von Quadraten der zwei anderen Zahlen zerlegt werden kann.

Eiler entwickelte elementare Theorie der Zahlen und näherte sich dem Beweis des sogenannten quadratischen Gegenseitigkeitsgesetzes. Erst 1796 hat Karl Hauss dieses Gesetz vollendet bewiesen. Eiler begann auch den zweiten Teil von Theorie der Zahlen, - die analytische Theorie der Zahlen,- zu entwickeln. Diese Theorie leitet die Gesetze der Verteilung von einfachen Zahlen aus den Eigenschaften der einigen analytischen Funktionen ab. Analytische Theorie der Zahlen wird auch in Werken der modernen Mathematiker weiter entwickelt.

Der große Eiler interessierte sich auch für andere Wissenschaften, die bisweilen von Mathematik weit entfernt waren. Beispielsweise schrieb Eiler 1740 ein Werk über Ebben und Fluten im Ozean, wofür er von der Französischen Akademie der Wissenschaften einen Preis erhalten hatte.

Er erlernte die Fragen der Strahlenbrechung und schrieb einige Artikel zu diesem Thema. 1762 hat Eiler in einem seiner Werke eine Konstruktion der komplizierten Objektive zwecks der Verminderung der chromatischen Aberration vorgeschlagen. Nach seinem Empfehlen wurden in England die ersten achromatischen Objektive hergestellt.

Weit bekannt sind die Werke Eilers über die Schwingungen der elastischen Stäbe sowie über deren Längsbiegung. Diese Untersuchungen sind von großer praktischen Bedeutung, was jeder Ingenieur bestätigen kann.

>>>Lesen Sie weiter: Leonhard Eiler (Teil 2).

Archimedes Rene Descartes Leonhard Eiler M.W. Lomonossow D.I. Mendelejew Johannes Kepler Isaac Newton

 
 
Main page Favorites Contacts  News   About us Our plans References  Guestbook

 

 

 

 

   
Rambler's Top100 Рейтинг лучших сайтов категории Наука / Образование Рейтинг ASTROLAB


© KV